선형 대수학(Linear algebra)은 선형 방정식(linear equation)에 대해 연산하는 방법을 제시해 주며, 아래와 같은 형식을 취한다.
4x1−5x2−2x1+3x2=−13=9
두 개의 변수와 두 개의 방정식으로 표현된 위의 선형 시스템을 행렬(matrix)을 사용해서 간단하게 표기할 수 있다.
Ax=b
A=[4−2−5 3],b=[−139]
표기법
A∈Rm×n은 각 원소가 실수인 m개의 행(row)과 n개의 열(column)을 가진 행렬
x∈Rn은 n개의 원소를 가지는 벡터. 일반적으로 n개의 행과 1개의 열을 가진 행렬을 n차원 벡터라고 말하며, 이를 열벡터(column vector)라 한다. 행벡터(row vector)는 1개의 행과 n개의 열을 가지며, xT로 표기한다.
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎤
A=⎣⎢⎡a1a2⋯an⎦⎥⎤
A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ a1T a2T ⋮ amT ⎦⎥⎥⎥⎥⎤
행렬 곱셈
행렬 A∈Rm×n와 B∈Rn×p의 곱은 다음과 같다.
C=AB∈Rm×p
Cij=k=1∑nAikBkj
벡터와 벡터 곱(Vector-Vector products)
두 개의 벡터 x,y∈Rn가 주어졌을 때, xTy를 내적(inner product or dot product)이라고 부른다.
xTy∈R=[x1x2⋯xn]⎣⎢⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=i=1∑nxiyi
두 개의 벡터 x∈Rm,y∈Rn가 주어졌을 때, xyT∈Rm×n을 벡터의 외적(outer product)이라 한다.
xyT∈Rm×n=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎥⎤[y1y2⋯yn]=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1y1x2y1⋮xmy1x1y2x2y2⋮xmy2⋯⋯⋱⋯x1ynx2yn⋮xmyn⎦⎥⎥⎥⎥⎤
A=⎣⎢⎡xx⋯x⎦⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xmx1x2⋮xm⋯⋯⋱⋯x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎥⎤[11⋯1]=x1T
행렬 벡터 곱(Matrix-Vector products)
행렬 A∈Rm×n와 벡터 x∈Rn가 주어졌을 때, 곱은 벡터 y=Ax∈Rm이다. 이때, 행렬과 벡터의 곱을 여러 가지 방법으로 표기할 수 있다.
행렬 A를 행으로 쓰면 곱은 다음과 같이 쓸 수 있다. 즉 y의 i번째 요소는 행렬 A의 i번째 행과 벡터 x의 내적과 같다.
y=Ax=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ a1T a2T ⋮ amT ⎦⎥⎥⎥⎥⎤x=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1Txa2Tx⋮amTx ⎦⎥⎥⎥⎥⎤
행렬 A를 열의 형태로 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.
y=Ax=⎣⎢⎡a1a2⋯an⎦⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎡a1⎦⎥⎤x1+⎣⎢⎡a2⎦⎥⎤x2+⋯+⎣⎢⎡an⎦⎥⎤xm
즉, y는 행렬 A의 열에 대한 선형 조합(linear combination)이며, 선형 조합의 계수는 x의 요소들로 주어진다.
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